Geometria
Ejercicio 1
Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas:
\( r:\ \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-7}{3}=\dfrac{z-8}{4} \quad\text{ y }\quad s:\ x=y=z \)
Soluciones
\( \pi=\{x=0+2\alpha+\beta,\ y=0+3\alpha+\beta,\ z=0+4\alpha+\beta\} \)
Ejercicio 2
Determina el plano que contiene a la recta:
\( r:\ \begin{cases} x+y+z=-5 \\ x-3y-z=3 \end{cases} \)
y es paralelo a la recta:
\( s:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-10}{4} \)
Soluciones
\( \pi=\{x=-3+2\alpha+2\beta,\ y=-2+2\alpha+3\beta,\ z=0-4\alpha+4\beta\} \)
Ejercicio 3
Halla la ecuación implícita del plano \( \pi \) que pasa por el punto \(P(1,1,1)\) y es paralelo a
\( \pi' : \begin{cases} x=1+2\alpha-3\beta \\ y=3+2\beta \\ z=-1-\beta \end{cases} \)
Soluciones
\( y+2z-3=0 \)
Ejercicio 4
Halla la ecuación del plano \( \pi \) que contiene a la recta:
\( r:\ \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-4}{3} \)
y es paralelo a la recta:
\( s:\ \begin{cases} x=1+3t \\ y=1+2t \\ z=t \end{cases} \)
Soluciones
\( \pi=\{x=2+\alpha+3\beta,\ y=2-2\alpha+2\beta,\ z=4+3\alpha+\beta\} \)
Ejercicio 5
Estudia si los puntos \((1,1,1),\ (2,3,4),\ (-5,0,-2)\) están alineados.
En caso afirmativo halla las ecuaciones paramétricas y continua que definen la recta y en caso negativo la ecuación del plano correspondiente.
Soluciones
No están alineados.
\( \pi:\ \{x=1+\lambda-6\beta,\ y=1+2\lambda-\beta,\ z=1+3\lambda-3\beta\} \)
Ejercicio 6
Consideramos la recta
\( r:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+8}{3}=\dfrac{z-2}{5} \),
el plano \( \pi: 2x - y + 3z = 0 \)
y el punto \(P(1,0,4)\).
a) Obtén una recta s paralela a r que pase por el punto P.
b) Calcula el punto de intersección de r y \( \pi \).
Soluciones
\( a) s:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-4}{5} \)
\( b) P_{\text{inter}}=(-1,-11,-3) \)
Ejercicio 7
Dada la familia de planos:
\( 2mx + (m+1)y - 3(m+1)z + 2m + 4 = 0 \)
a) Calcular la ecuación del plano de esta familia que pasa por el punto \( (1,1,-2) \).
b) Calcular la ecuación del plano de esta familia perpendicular a la recta:
\( r:\ \begin{cases}
x + 3z - 1 = 0 \\
y - 5z + 2 = 0
\end{cases} \)
Soluciones
\( a) x + 6y + 15z + 23 = 0 \)
b) No hay
Ejercicio 8
Estudiar la posición relativa de las rectas:
\( r:\ y=0,\ z = 2 + 2t \)
\( s:\ \begin{cases}
x=1 \\ z = y+2
\end{cases} \)
Obtener si es posible el ángulo que forman.
Soluciones
Secantes.
Ejercicio 9
Dada la recta
\( r:\ \dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{1} \)
y el plano
\( \pi: 2x + my + 2z - 3 = 0 \), hallar razonadamente:
a) El valor de m para que r y π sean paralelos.
b) Los valores de m para que r y π sean perpendiculares.
c) ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π?
Soluciones
\( a) m = 2 \)
\( b) m = -4 \)
c) No existe