Per fer qualsevol tipus d'operació matemàtica, procedirem a seguir la següent regla:
2. Números.
3. Lletres.
2.1 Simplificar
\[ \frac{12}{36} = \frac{12: \color{red}{3}}{36: \color{red}{3}} = \frac{4}{12} = \frac{4: \color{blue}{4}}{12: \color{blue}{4}} = \frac{1}{3} \]
2.2 Sumar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(3, 2) = 6
\[ \frac{1}{\color{red}{3}} + \frac{5}{\color{blue}{2}} = \frac{1\cdot \color{green}{2}}{\color{red}{3}\cdot \color{green}{2}} + \frac{5 \cdot \color{orange}{3}}{\color{blue}{2}\cdot \color{orange}{3}} = \frac{2 + 15}{6} = \frac{17}{6} \]
2.3 Restar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(2, 8) = 8
\[ \frac{3}{\color{red}{2}} - \frac{7}{\color{blue}{8}} = \frac{3 \cdot \color{green}{4}}{\color{red}{2}\cdot \color{green}{4}} - \frac{7 \cdot \color{orange}{1}}{\color{blue}{8}\cdot \color{orange}{1}} = \frac{12 - 7}{8} = \frac{5}{8} \]
2.4 Multiplicar
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \]
2.5 Dividir
\[ \frac{3}{2} : \frac{\color{red}{7}}{\color{blue}{5}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\color{blue}{5}}{\color{red}{7}} = \frac{15}{14} \]
Quan toqui fer un seguit d'operacions combinades haurem de seguir un ordre concret:
- 1. Parèntesis
- 2. Multiplicació / divisió
- 3. Suma / resta
Exemple:
\[ (3 + 2) \cdot 8 - 6 = 5 \cdot 8 - 6 = 40 - 6 = 34 \]
- 1. Parèntesi: 3 + 2 = 5
- 2. Multiplicació: 5 · 8 = 40
- 3. Resta: 40 − 6 = 34
4.1 Suma / Resta
- Signes iguals → suma
- Signes diferents → resta del gran menys el petit
- Signe final → el del número més gran
Exemples:
\[ (-5) + 3 = -2 \]
−5 és negatiu i +3 és positiu → fem resta: 5 − 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
\[ (-5) - 3 = -8 \]
−5 és negatiu i −3 és negatiu → fem suma: 5 + 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
4.2 Multiplicació / Divisió
- Signes iguals → positiu
- Signes diferents → negatiu
Exemples:
\[ (-2) \cdot 3 = -6 \]
−2 és negatiu i 3 és positiu: signes diferents dona negatiu.
\[ (-15) : (-3) = 5 \]
−15 és negatiu i −3 és negatiu: signes iguals dona positiu.
Un percentatge és una manera d’expressar una fracció sobre 100.
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
5.1 Càlcul d’un percentatge d’una quantitat
\[ p\% \; \text{de } Q = \frac{p}{100} \cdot Q \]
Exemple:
\[ 20\% \; \text{de } 150 = \frac{20}{100} \cdot 150 = 30 \]
5.2 Càlcul del percentatge que representa una quantitat
\[ \text{Percentatge} = \frac{\text{part}}{\text{total}} \cdot 100 \]
Exemple:
\[ \frac{30}{150} \cdot 100 = 20\% \]
5.3 Augments i disminucions percentuals
Si una quantitat \( Q \) augmenta o disminueix un \( p\% \):
\[ Q_{nou} = Q \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right) \]
Exemple (augment):
200 amb un augment del 15\%:
\[ 200 \cdot \left(1 + \tfrac{15}{100}\right) = 230 \]
Exemple (disminució):
200 amb una reducció del 15\%:
\[ 200 \cdot \left(1 - \tfrac{15}{100}\right) = 170 \]
\(\boxed{a^0 = 1 \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{{\color{green}a}^{\color{red}m} \cdot {\color{green}a}^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{{\color{red}m}+{\color{blue}n}}}\)
\(\boxed{\frac{{\color{green}a}^{\color{red}m}}{{\color{green}a}^{\color{blue}n}} = {\color{green}a}^{{\color{red}m}-{\color{blue}n}} \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{({\color{green}a}^{\color{red}m})^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{{\color{red}m} \cdot {\color{blue}n}}}\)
\(\boxed{({\color{green}a}{\color{orange}b})^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{\color{blue}n} \cdot {\color{orange}b}^{\color{blue}n}}\)
\(\boxed{\left(\frac{{\color{green}a}}{{\color{orange}b}}\right)^{\color{blue}n} = \frac{{\color{green}a}^{\color{blue}n}}{{\color{orange}b}^{\color{blue}n}} \quad (b \neq 0)}\)
\(\boxed{{\color{green}a}^{{\color{blue}-n}} = \frac{1}{{\color{green}a}^{\color{blue}n}} \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}} = {\color{red}a}^{\frac{{\color{blue}m}}{{\color{green}n}}}}\)
\(\boxed{(\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}})^{\color{blue}m} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}}}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{orange}b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}{\color{orange}b}}}\)
\(\boxed{\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}}}{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{orange}b}}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{{\color{red}a}}{{\color{orange}b}}} \quad (b \neq 0)}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{blue}m}]{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}}} = \sqrt[{\color{blue}m} \cdot {\color{green}n}]{{\color{red}a}}}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n} \cdot {\color{purple}k}]{{\color{red}a}^{{\color{blue}m} \cdot {\color{purple}k}}} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}}}\)
- Sigui \(a\) el radicand i \(m, n\) els índex
- El radicand no pot ser mai negatiu
- Si no s’indica l’índex vol dir que val 2
8.1 Parts d’un monomi
8.2 Suma i resta
- Només es poden sumar o restar monomis que siguin semblants, és a dir, que tinguin la mateixa part literal.
- Es sumen o resten els coeficients, mantenint la part literal.
Exemples:
\[ 3x + 5x = (3+5)x = 8x \]
\[ 4ab - 2a - ab = (4 - 1)ab -2a = 3ab -2a \]
8.3 Multiplicació i divisió
- Multipliquem o dividim els coeficients.
- Sumem (multiplicació) o restem (divisió) els exponents de les lletres iguals.
Exemple:
\[ (2x^3) \cdot (5x^2) = (2 \cdot 5) \cdot (x^3 \cdot x^2) = 10x^{3+2} = 10x^5 \]
\[ \frac{12x^5}{4x^2} = \left( \frac{12}{4} \right) \cdot x^{5 - 2} = 3x^3 \]
9.1 Quadrat d’una suma
\[ ({\color{red}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{red}a}^2 + 2 \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}1}+{\color{blue}2x})^2 = {\color{red}1}^2 + 2 \cdot {\color{red}1} \cdot {\color{blue}2x} + ({\color{blue}2x})^2 = 1 + 4x + 4x^2 \]
9.2 Quadrat d’una resta
\[ ({\color{red}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{red}a}^2 - 2 \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}1}-{\color{blue}3x})^2 = {\color{red}1}^2 - 2 \cdot {\color{red}1} \cdot {\color{blue}3x} + ({\color{blue}3x})^2 = 1 - 6x + 9x^2 \]
9.3 Diferencia de quadrats
\[ ({\color{red}a}+{\color{blue}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{blue}b}) = {\color{red}a}^2 - {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}2x}+{\color{blue}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{blue}3}) = ({\color{red}2x})^2 - {\color{blue}3}^2 = 4x^2 - 9 \]
- Sigui \(a\) un nombre real i \(m, n\) nombres enters
- \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\)
Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma o resta de monomis.
\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \]
on \( a_i \) són els coeficients, \( a_n \neq 0 \), \( n \) és el grau del polinomi i \( a_0 \) és el terme independent.
Exemple:
\[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1 \]
10.1 Operacions
- Suma / Resta:
Sumem o restem els monomis de mateix grau.
Exemple suma:
\[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1 \]
\[ Q(x) = 5x^3 + x^2 - 6x - 12 \]
\[ {\color{blue}P(x)} + {\color{red}Q(x)} \]
\[ ({\color{blue}2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}) + ({\color{red}5x^3 + x^2 - 6x - 12}) \]
\[ = 7x^3 + 6x^2 - 9x - 11 \]
Exemple resta:
\[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1 \]
\[ Q(x) = 5x^3 + x^2 - 6x - 12 \]
\[ {\color{blue}P(x)} - {\color{red}Q(x)} \]
\[ ({\color{blue}2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}) - ({\color{red}5x^3 + x^2 - 6x - 12}) \]
\[ = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1 - 5x^3 - x^2 + 6x + 12 \]
\[ = -3x^3 + 4x^2 + 3x + 13 \]
- Multiplicació:
Multipliquem tots els monomis entre ells.
Exemple:
\[ P(x) = 5x^2 - 3x + 1 \]
\[ Q(x) = 6x - 12 \]
\[ {\color{blue}P(x)} \cdot {\color{red}Q(x)} \]
\[ ({\color{blue}5x^2 - 3x + 1}) \cdot ({\color{red}6x - 12}) \]
\[ = 5x^2 \cdot 6x + 5x^2 \cdot (-12) + (-3x) \cdot 6x \]
\[ + (-3x) \cdot (-12) + 1 \cdot 6x + 1 \cdot (-12) \]
\[ = 30x^3 - 60x^2 - 18x^2 + 36x + 6x - 12 \]
\[ = 30x^3 - 78x^2 + 42x - 12 \]
- Divisió:
Exemple:
\[ \begin{array}{rrrr|r} 2x^3 & +\,3x^2 & -\,5x & +\,6 & \;x - 2 \\ \hline \underline{-2x^3} & +\,4x^2 & & & \textcolor{blue}{2x^2}+\textcolor{red}{7x}+\textcolor{green}{9}\\[2pt] & 7x^2 & -\,5x & & \\ & \underline{-7x^2} & +\,14x & & \\[2pt] & & 9x & +\,6 & \\ & & \underline{-9x} & +\,18 & \\[2pt] & & & 24 & \end{array} \]
Resultat:
\[ \frac{2x^3 + 3x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 2x^2 + 7x + 9 + \frac{24}{x - 2} \]
Consisteix a expressar un polinomi com a producte de polinomis més simples.
11.1 Factor comú
Si tots els termes tenen un factor comú \( a \), es treu:
\[ P(x) = a \cdot Q(x) \]
Exemple:
\[ 6x^3 + 9x^2 = 3x(2x^2 + 3x) \]
11.2 Identitats notables
- Producte de la suma per la resta
\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
Fem l’arrel dels dos monomis.Exemple:
\[ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \]
- Quadrat de suma o resta
\[ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \]
Fem l’arrel del terme de segon grau i del terme independent.
Multipliquem els dos resultats junts i per 2.
Si val el mateix que el terme de primer grau, és identitat notable.Exemple:
\[ x^2 + 6x + 9 \]
\[ \sqrt{x^2} = x \quad \sqrt{9} = 3 \]
\[ 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \]
\[ x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \]
11.3 Polinomi de 2n grau
Un polinomi de 2n grau és de la forma:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]
Les seves arrels es calculen amb la fórmula general:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Si les arrels són \( x_1 \) i \( x_2 \), llavors el polinomi es pot factoritzar com:
\[ P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Exemple:
Factoritzem:
\[ P(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Calculem les arrels:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \]
\[ = \frac{5 \pm 1}{2} \]
Per tant:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \]
I la factorització és:
\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]
11.4 Ruffini
Si \( P(x) \) és un polinomi i \( r \) una de les seves arrels, aleshores \( (x-r) \) és un factor de \( P(x) \). Podem dividir \( P(x) \) entre \( (x-r) \) utilitzant la Regla de Ruffini.
Exemple:
\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \]
Mirem els divisors del terme independent: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Divisió amb Ruffini:
Anem provant els divisors que hem trobat:
\[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & \downarrow & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \\ 2 & \downarrow & 2 & -6 & \\ \hline & 1 & -3 & 0 & \\ \end{array} \]
Per tant obtenim els factors:
\[ (x-1)\quad (x-2)\quad (x-3) \]
La factorització del polinomi quedaria com:
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) \]
Per resoldre una equació hem de tenir els termes amb "x" tots a la mateixa banda de l'equació i els termes sense "x" a l'altra. Una vegada separats, hem de treure els números que acompanyin a la "x". Per moure seguim la següent regla:
- Positiu → Negatiu
- Negatiu → Positiu
- Multiplicació → Divisió
- Divisió → Multiplicació
12.1 Sense fraccions
Exemple:
\[ \begin{aligned} 5x - 5 &= 2x + 4 \\ 5x - 2x &= 4 + 5 \quad &\text{(hem passat } 2x \text{ i } -5 \text{ a l'altre costat)} \\ 3x &= 9 \quad &\text{(Passem } 3 \text{ a l'altre costat dividint)} \\ x &= \frac{9}{3} \\ x &= 3 \end{aligned} \]
12.2 Amb fraccions
Exemple:
\[ \begin{aligned} \frac{2x+1}{3} - \frac{5}{2} &= \frac{x-1}{2} + 4 \\ \frac{(2x+1)\cdot \color{red}{2}}{3\cdot \color{red}{2}} - \frac{5\cdot \color{red}{3}}{2\cdot \color{red}{3}} &= \frac{(x-1)\cdot \color{red}{3}}{2 \cdot \color{red}{3}} + \frac{4\cdot \color{red}{6}}{1\cdot \color{red}{6}} \\ \frac{(2x+1)\cdot 2}{6} - \frac{15}{6} &= \frac{(x-1)\cdot 3}{6} + \frac{24}{6} \\ 4x + 2 - 15 &= 3x - 3 + 24 \\ 4x - 3x &= -3 + 24 - 2 + 15 \\ x &= 34 \end{aligned} \]
Els sistemes de 2 incògnites i 2 equacions tenen diversos mètodes per resoldre'ls:
13.1 Igualació
- Aïllar la mateixa lletra de les 2 equacions
- Igualar les expressions obtingudes
- Resoldre l'equació de 1r grau
- Calcular l'altra incògnita
Exemple:
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x - 3y &= -2 \end{aligned} \right. \]
Pas 1:
\[ \left\{ \begin{aligned} x &=\frac{3-y}{2} \\ x &=-2+3y \end{aligned} \right. \]
Pas 2:
\[ \frac{3-y}{2}=-2+3y \]
Pas 3:
\[ 3-y= 2(-2+3y) \] \[ 3-y=-4+6y \] \[ 3+4=6y+y \] \[ 7=7y \] \[ \frac{7}{7}=1=y \]
Pas 4:
\[ x=-2+3y=-2+3\cdot 1=1 \]
13.2 Reducció
- Conseguir el mateix coeficient amb símbol contrari en les dues equacions d'una de les incògnites
- Sumar les equacions
- Resoldre l'equació de 1r grau
- Calcular l'altra incògnita
Exemple:
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x - 3y &= -2 \end{aligned} \right. \]
Pas 1:
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ -2x + 6y &= 4 \quad &\text{(hem multiplicat l'equació per -2)} \\ \end{aligned} \right. \]
Pas 2:
\[ 2x + y + (-2x) +6y = 3 + 4 \] \[ 0x + 7y =7 \] \[ 7y =7 \]
Pas 3:
\[ 7y=7 \] \[ y=\frac{7}{7}=1 \]
Pas 4:
\[ x-3y=-2 \] \[ x= -2 + 3y= -2 + 3\cdot 1 = 1 \]
13.3 Substitució
- Aïllar una de les lletres d'una de les dues equacions
- Substituir l'expressió obtinguda a l'altra equació
- Resoldre l'equació de 1r grau
- Calcular l'altra incògnita
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x - 3y &= -2 \end{aligned} \right. \]
Pas 1: (\(y\) de la primera equació)
\[ y=3-2x \]
Pas 2: (a la segona equació)
\[ x - 3 \cdot (3-2x) =-2 \]
Pas 3:
\[ x -9 +6x =-2 \] \[ x +6x =-2+9 \] \[ 7x=7 \] \[ x=\frac{7}{7}=1 \]
Pas 4:
\[ y= 3-2x =3-2\cdot 1= 1 \]
Una equació de 2n grau té la forma general:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) \]
La seva solució es troba amb la fórmula general:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Discriminant:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Segons el valor de \( \Delta \):
- Si \( \Delta > 0 \) ⇒ dues arrels reals i diferents.
- Si \( \Delta = 0 \) ⇒ una arrel real doble.
- Si \( \Delta < 0 \) ⇒ no hi ha solucions reals (solucions complexes).
Exemple: Resol l’equació
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Apliquem la fórmula:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
Per tant:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \]
15.1 Definició
Pensarem en una funció com en una màquina que té una entrada (x), i una sortida f(x). Per una banda entra un número, dins de la màquina aquest número es processa, i a la sortida s'obté un altre número.
15.2 Funció afí
Una funció afí és una funció de la forma:
\[ f(x) = ax + b \]
On:
- a és el pendent (indica si la recta puja o baixa)
- b és l’ordenada a l’origen (el punt on la recta talla l’eix Y)
Exemple:
\[ f(x)=2x -1 \]
15.3 Funció quadràtica
Una funció quadràtica és una funció de la forma:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{amb } a \neq 0 \]
On:
- a és el coeficient que determina si la paràbola obre cap amunt (a>0) o cap avall (a<0).
- b influeix en la posició horitzontal del vèrtex.
- c és l'ordenada a l'origen, el punt on la paràbola talla l'eix y.
- Vèrtex: \[ \left(-\frac{b}{2a}, \, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \]
Exemple
La funció
\[
f(x) = x^2 - 4x + 3
\]
té forma de paràbola que obre cap amunt (a=1>0).
Vermell: ordenada a l'origen (0,3).
Blau: vèrtex (2,-1).
Taronja: punts de tall eix x (1,0) i (3,0).
16.1 Vectors
Un vector és un segment orientat que té:
- Mòdul (longitud)
- Direcció (línia sobre la qual es troba)
- Sentit
Representació:
\[ \vec{u} = (x, y) \]
Mòdul:
\[ |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Suma i resta de vectors:
\[ \vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2), \qquad \vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2, \; y_1 - y_2) \]
Multiplicació per un escalar:
\[ \lambda \cdot (x, y) = (\lambda x, \; \lambda y) \]
Producte escalar:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \]
Angle entre dos vectors:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} \]
Vectors ortogonals: Dos vectors són ortogonals si:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \]
Vector entre dos punts: Si \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):
\[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, \; y_2 - y_1) \]
Exemple: Si \(A(1,1)\) i \(B(4,3)\):
\[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1, \; 3 - 1) = (3, 2) \]
16.2 Equacions de la recta
Una recta en el pla queda determinada per:
- Un punt \( P(x_0, y_0) \) per on passa.
- Un vector direcció \( \vec{v} = (a, b) \).
1. Forma vectorial:
\[ \vec{r} : \quad (x, y) = (x_0, y_0) + \lambda \cdot (a, b), \quad \lambda \in \mathbb{R} \]
2. Forma paramètrica:
\[ \begin{cases} x = x_0 + \lambda a \\ y = y_0 + \lambda b \end{cases} \]
3. Forma contínua (si \(a,b \neq 0\)):
\[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} \]
4. Forma punt-pendent:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
on
\[ m = \frac{b}{a} \]
5. Forma explícita (pendent):
\[ y = mx + n \]
On \( m \) és la pendent de la recta i \( n \) és l’ordenada a l’origen.
6. Forma general:
\[ Ax + By + C = 0, \quad (A \text{ i } B \text{ no són tots dos nuls}) \]
Relació entre les formes:
\[ m = -\frac{A}{B}, \quad n = -\frac{C}{B} \quad (B \neq 0) \]
Exemple: Troba l’equació de la recta que passa per \( P(1, 2) \) i té vector direcció \( \vec{v} = (2, 1) \).
\[ \text{Vectorial: } (x, y) = (1, 2) + \lambda (2, 1) \]
\[ \text{Paramètrica: } \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \end{cases} \]
\[ \text{Contínua: } \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} \]
\[ \text{Pendent:} \quad m = \frac{1}{2} \]
\[ \text{Punt-pendent:} \quad y - 2 = \tfrac{1}{2}(x - 1) \]
\[ \text{Explícita:} \quad y = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2} \]
\[ \text{General:} \quad x - 2y + 3 = 0 \]
17.1 Triangle
\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \] Si \( b = 3\,\text{cm} \) i \( h = 4\,\text{cm} \), \[ A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\,\text{cm}^2 \]
17.2 Quadrat
\[
A = a^2
\]
Si \( a = 5\,\text{cm} \),
\[
A = 5^2 = 25\,\text{cm}^2
\]
17.3 Rectangle
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
17.4 Paral·lelogram
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
17.5 Trapezi
\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] Si \( b_1 = 4\,\text{cm} \), \( b_2 = 3\,\text{cm} \), \( h = 6\,\text{cm} \), \[ A = \frac{(4 + 3) \cdot 6}{2} = 21\,\text{cm}^2 \]
17.6 Rombe
\[ A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Si \( d_1 = 5\,\text{cm} \) i \( d_2 = 4 \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10\,\text{cm}^2 \]
17.7 Pentàgon regular
\[ A = \dfrac{P \cdot ap}{2} \] Si \( P = 5\,\text{cm} \) i \( ap = 2\,\text{cm} \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 2}{2} = 5\,\text{cm}^2 \]
17.8 Cercle
\[ A = \pi r^2 \] Si \( r = 5\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \approx 78.54\,\text{cm}^2 \]
18.1 Cub
\[ A = a^3 \] Si \( a = 3\,\text{cm} \), \[ A = 3^3 = 27\,\text{cm}^3 \]
18.2 Prisma rectangular
\[ A = l \cdot h \cdot w \] Si \( l = 3\,\text{cm} \), \( h = 2\,\text{cm} \), i \( w = 5\,\text{cm} \), \[ A = 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^3 \]
18.3 Cilindre
\[ A = \pi \cdot r^2 \cdot h \] Si \( r = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi = 150.8\,\text{cm}^3 \]
18.4 Con
\[ A = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \] Si \( r = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi = 50.3\,\text{cm}^3 \]
18.5 Piràmide quadràda
\[ V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \] Si \( a = 2\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ V = \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot 3 = 4\,\text{cm}^3 \]
18.6 Esfera
\[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \] Si \( r = 3\,\text{cm} \), \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 12\pi = 37.7\,\text{cm}^3 \]
19.1 Teorem de pitàgoras
\[ (\text{hipotenusa})^2 = (\text{catet 1})^2 + (\text{catet 2})^2 \] \[ {\color{blue}5}^2 = {\color{red}3}^2 + {\color{green}4}^2 \]
19.2 Triangles semblants
Dos triangles són semblants quan tenen la mateixa forma, encara que no tinguin la mateixa mida. Això passa quan es compleixen les condicions següents:
Condicions de semblança
- Els seus angles són iguals.
- Els seus costats corresponents són proporcionals:
\[ \frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’} = k \]
Propietats principals
- La relació de semblança es diu raó de semblança (k).
- L’àrea d’un triangle semblant és proporcional al quadrat de la raó:
\[ \text{Àrea}_{\triangle 1} = k^2 \cdot \text{Àrea}_{\triangle 2} \]
- El volum d’un triangle semblant és proporcional al cub de la raó:
\[ \text{Volum}_{\triangle 1} = k^3 \cdot \text{Volum}_{\triangle 2} \]
20.1 Raons trigonomètriques
\[ \sin({\color{purple}\alpha}) = \frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}} = \frac{{\color{red}b}}{{\color{blue}a}} \]
\[ \cos({\color{purple}\alpha}) = \frac{\text{catet adjacent}}{\text{hipotenusa}} = \frac{{\color{green}c}}{{\color{blue}a}} \]
\[ \tan({\color{purple}\alpha}) = \frac{\text{catet oposat}}{\text{catet adjacent}} = \frac{{\color{red}b}}{{\color{green}c}} \]
- Recorda comprovar les unitats angulars de la calculadora.
- Per recordar les fórmules pots utilitzar: SOH CAH TOA.
20.2 Identitats trigonomètriques
20.3 Toremes del sinus i cosinus
-
Teorema del sinus
\[ \frac{{\color{red}a}}{\sin {\color{orange}A}} = \frac{{\color{blue}b}}{\sin {\color{purple}B}} = \frac{{\color{green}c}}{\sin {\color{brown}C}} \] -
Teorema del cosinus
\[ {\color{red}a}^2 = {\color{blue}b}^2 + {\color{green}c}^2 - 2{\color{blue}b}{\color{green}c}\cos{\color{orange}A} \] \[ {\color{blue}b}^2 = {\color{red}a}^2 + {\color{green}c}^2 - 2{\color{red}a}{\color{green}c}\cos{\color{purple}B} \] \[ {\color{green}c}^2 = {\color{red}a}^2 + {\color{blue}b}^2 - 2{\color{red}a}{\color{blue}b}\cos{\color{brown}C} \]
Una successió és una llista ordenada de nombres:
\[ (u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots) \]
21.1 Successió aritmètica
- Sumem o restem sempre el mateix nombre.
- Terme general: \[ u_n = u_1 + (n - 1)d \] on \(d\) és la raó de la successió.
Exemple: Si \(u_1 = 3\) i \(d = 2\):
\[ u_1 = 3,\; u_2 = 5,\; u_3 = 7,\; \dots \]
\[ u_n = 3 + (n - 1)\cdot 2 = 2n + 1 \]
Suma dels primers n termes:
\[ S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} \]
21.2 Successió geomètrica
- Multipliquem o dividim sempre pel mateix nombre.
- Terme general: \[ u_n = u_1 \cdot r^{\,n-1} \] on \(r\) és la raó de la successió.
Exemple: Si \(u_1 = 2\) i \(r = 3\):
\[ u_1 = 2,\; u_2 = 6,\; u_3 = 18,\; \dots \]
\[ u_n = 2 \cdot 3^{\,n-1} \]
Suma dels primers n termes:
Si \(r \neq 1\):
\[ S_n = u_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \]
Suma d'infinits termes:
Si \(|r| < 1\):
\[ S_\infty = \frac{u_1}{1 - r} \]
- Sigui \(a_1\) el primer terme de la successió.
- Sigui \(n\) el nombre de termes considerats.
22.1 Mitjana
La mitjana és el resultat de sumar tots els valors i dividir entre la quantitat total de dades.
Exemple:
Notes d’un alumne: \( 6,\ 7,\ 8,\ 9 \)
\[ \text{Mitjana} = \frac{6 + 7 + 8 + 9}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \]
22.2 Mediana
La mediana és el valor que queda al mig quan les dades estan ordenades. Si hi ha un nombre parell de valors, és la mitjana dels dos del mig.
Exemple 1 (nombre senar de valors):
\( 3,\ {\color{blue}5},\ 7 \Rightarrow \) la mediana és \( 5 \)
Exemple 2 (nombre parell de valors):
\( 2,\ {\color{blue}4},\ {\color{blue}6},\ 8 \Rightarrow \text{mediana} = \frac{4+6}{2} = 5 \)
22.3 Moda
La moda és el valor que es repeteix més vegades. Pot haver-hi més d’una moda o cap.
Exemple 1:
Dades: \( 2,\ {\color{blue}3},\ {\color{blue}3},\ 4,\ 5 \Rightarrow \) Moda: \( 3 \)
Exemple 2 (sense moda):
Dades: \( 5,\ 6,\ 7 \Rightarrow \) No hi ha cap valor repetit
23.1 Regla de La Place
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de casos favorables}}{\text{Nombre total de casos possibles}} \]
Exemple: Tirar un dau
Quina és la probabilitat de treure un nombre parell?
- Casos possibles: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow 6 \)
- Casos favorables: \( \{2, 4, 6\} \Rightarrow 3 \)
\[ P(\text{parell}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
23.2 Arbre de probabilitats
Un arbre de probabilitat és una representació gràfica que mostra tots els possibles resultats d’un experiment aleatori, amb les seves probabilitats associades. Normalment els utilitzem en casos d'experiments múltiples.
Cada camí de l’arbre correspon a un possible resultat, i la probabilitat d’aquest resultat s’obté multiplicant les probabilitats dels trams recorreguts.
\[ P(\text{camí}) = P(\text{primer succés}) \cdot P(\text{segon succés}) \cdot \dots \]
En cas que el succés es compleixi en més d'un camí, sumarem la probabilitat de cada camí.
\[ P(\text{A}) = P(\text{1r camí}) + P(\text{2n camí}) + \dots \]
Exemple: Llencem una moneda i després un dau.
a) Probabilitat d'obtenir cara i després un nombre entre 1 i 3.
b) Probabilitat d'obtenir un nombre entre 4 i 6.
a) Probabilitat d’obtenir Cara i després un nombre del 1 al 3:
\[ P = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4} \]
b) Probabilitat d'obtenir un nombre entre 4 i 6:
\[ P = P(\text{Cara/entre 4 i 6}) + P(\text{Creu/entre 4 i 6}) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2} \]