Donats dos punts \( A(A_x, A_y) \) i \( B(B_x, B_y) \), el vector \( \vec{AB} \) es calcula restant coordenades:
\( \vec{AB} = (B_x - A_x,\ B_y - A_y) \)
Exemple: A(1, 2) i B(5, -1)
\(\vec{AB} = (5-1 , -1-2) = (4, -3) \)
La suma de dos vectors es calcula component a component.
\( \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x,\ A_y + B_y) \)
Exemple:\( \vec{A} = (2, 3),\ \vec{B} = (1, -4) \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (2+1 , 3+(-4)) = (3, -1) \)
La resta es calcula restant els components corresponents.
\( \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x,\ A_y - B_y) \)
Exemple: \( \vec{A} = (2, 3),\ \vec{B} = (1, -4) \)
\( \vec{A} + \vec{B}= (2-1,3-(-4)) = (1, 7) \)
El vector es multiplica per un nombre real \( k \).
\( k \cdot \vec{A} = (kA_x,\ kA_y) \)
Exemple:\( \vec{A} = (2, 3) \)
\( 3\cdot\vec{A} = 3 \cdot (2, 3) = (3\cdot 2, 3\cdot 3) =(6, 9) \)
La longitud d’un vector es calcula amb el Teorema de Pitàgores.
\( |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \)
Exemple:\(\vec{A}= (3, 4) \)
\( |\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2}=5 \)
Multipliquem els components i sumem el resultat.
\( \vec{A}\cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y \)
Exemple:\( \vec{A} = (2, 3),\ \vec{B} = (1, -4) \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B}= (2, 3) \cdot (1, -4) = 2\cdot 1 + 3\cdot (-4)= -10 \)
Podem determinar la relació entre vectors mitjançant el producte escalar.
Perpendiculars: \( \vec{A}\cdot\vec{B} = 0 \)
Paral·lels: \( A_x\cdot B_y = A_y\cdot B_x \)